x^2 + y^2 を上から抑えるのは x, y をそれぞれ抑えるよりも強い

2乗和 x^2 + y^2 を上から抑えるのは、それぞれの成分を上から抑えるよりも強い

この記事では以下を示す。ただし x, y, k は実数とする。

$x^{2} + y^{2} ≪ k^{2} \Rightarrow x^{2} ≪ k^{2}$

$x^{2} + y^{2} ≪ k^{2} \Rightarrow y^{2} ≪ k^{2}$

$x^{2} + y^{2} ≪ k^{2} \Rightarrow | x y | ≪ k^{2}$

$x^{2} \leq x^{2} + y^{2} ≪ k^{2}$

$y^{2} \leq x^{2} + y^{2} ≪ k^{2}$

また、 $| x | \leq | y |$ のとき

$| x y | = | x | | y | \leq y^{2} \leq x^{2} + y^{2} ≪ k^{2}$

であり、 $| y | \leq | x |$ のとき

$| x y | = | x | | y | \leq x^{2} \leq x^{2} + y^{2} ≪ k^{2}$

証明終了。

以下に、k = 1 の場合の 4 つの領域

$a : x^{2} + y^{2} \leq k^{2}$

$b : x^{2} \leq k^{2}$

$c : y^{2} \leq k^{2}$

$d : | x y | \leq k^{2}$

および境界線を図示する。領域の包含関係を確認することにより、左辺の大小関係を調べることができる。

なお、さらに強い

$2 | x y | \leq x^{2} + y^{2}$

が成立する。これは、 $x y \geq 0$ のとき、

$x^{2} + y^{2} - 2 | x y | = x^{2} + y^{2} - 2 x y = (x - y)^{2} \geq 0$

$x y \leq 0$ のとき、

$x^{2} + y^{2} - 2 | x y | = x^{2} + y^{2} + 2 x y = (x + y)^{2} \geq 0$

となり、簡単に示せる。

k を 1 から 2 まで変化させた場合のアニメーション。すべての項が2次なので、ただスケーリングしてるだけですね。

動画プレーヤー

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00:00

3D に図示するとこんな感じ。赤い面は円錐状になっていて、他のどの面よりも上にあることがわかる。

動画プレーヤー

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ちなみに、一般に (相乗平均) ≦ (相加平均) ≦ (2乗平均) が成り立つそうです。

(2乗平均)≧(相加平均)≧(相乗平均)≧(調和平均)の証明
https://examist.jp/mathematics/expression-proof/soukasoujyou-syoumei/

最初からこの記事を見れば良かったですね、皆さんはこっちを読んでください。